为什么爱因斯坦的引力场方程中会出现圆周率？

圆周率的数值在不同曲率的弯曲空间中是不一样的。在欧几里得几何中，也就是在平直空间中，圆的周长与直径之比是恒定的常数——圆周率π，这是一个无理数，为3.1415926…。但在非欧几何中，圆周率就不是一个常数。

非欧几何中的圆周率

根据爱因斯坦的广义相对论，我们并非生活在欧氏空间中。由于空间中存在物质和能量，这会引发空间弯曲。质量密度越高的物体，所造成的空间弯曲程度越大，表现出的引力越强。

在弯曲的空间中，我们可以把圆的直径定义为连接圆上两点的最大测地线距离。取圆的周长与直径之比，结果不为欧氏几何中的π，而且也不是一个常数，与空间曲率有关。

根据黎曼几何，如果在曲率为正的空间中，例如，闭合的球体，圆周率会小于π，并且曲率越大，圆周率越小。另一方面，如果在曲率为负的空间中，例如，开放的马鞍面或者双曲面，圆周率会大于π。

事实上，还有比上述复杂得多的几何学，圆周率取决于圆在空间中的方向。正因为如此，曲率是由张量来衡量的，而不是一个简单的数字标量。在广义相对论中，表示曲率的是里奇张量。在平直时空中，里奇曲率张量等于0。

既然圆周率与曲率有关，那么，引力场方程中的π是常数吗？该如何取值？

如前所述，在弯曲空间中，圆的周长和直径之比并非一个常数。如果要定义这种圆周率的符号，显然需要引入一个张量符号，而不是像π这样的标量符号。

事实上，引力场方程中的π就是数学中欧氏几何的π，是一个完全确定的常数。在计算时，只要代入3.1415926…即可，无需考虑曲率，因为这里的π不是因为空间曲率而引入的。

那么，引力场方程中为什么会出现π呢？

从数学上可以证明，在弱场的情况下，上述的引力场方程可以退化成牛顿引力方程。牛顿的万有引力定律公式如下：

根据高斯定律，牛顿引力方程的泊松方程如下：

为了让引力场方程的弱场近似与万有引力定律的形式保持一致，需要把爱因斯坦引力常数κ（爱因斯坦张量与应力-能量张量的比值）定义为如下的形式：

这样，可以让引力场方程在弱场的情况下直接转变为万有引力定律，两种引力理论中的万有引力常数G都是通用的。

当然，也可以重新定义常数G，让比例系数κ中的π消失。只是这样做，会使得引力场方程和万有引力定律的转换需要绕个弯子，导致两者之间的联系没有那么直接和明确。

由于弱场极限满足高斯定律，而这会涉及到球的面积，所以必然会引入π。其实牛顿引力方程可以写成这样F=G'Mm/(4πr^2)，其中G'=4πG。

总结

π的存在是为了让引力场方程在弱场下变成牛顿引力方程的形式F=GMm/r^2。如果不这样，爱因斯坦场方程经过弱场近似处理之后，得到的牛顿引力方程的分母中会出现π，不是我们所熟悉的形式，这样还需要重新定义G。